广东清新县第一中学2012届高考数学冲刺模拟试题(4) 理

发布于:2021-10-17 01:08:22

届清新县第一中学高考冲刺模拟试题数学(理科) (四 2012 届清新县第一中学高考冲刺模拟试题数学(理科) 四) (
小题, 在每个小题给出的四个选项中只 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每个小题给出的四个选项中只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 ? a7 = 4a4 , a2 = 2 ,,则 a1 = (
2

)

A. 1

B.

2

C. 2

D.

2.设随机变量 ξ 服从标准正态分布 N (0,1) ,在某项测量中,已知 P (| ξ |< 1.96) = 0.950 , 则 ξ 在 ( ?∞, ?1.96) 内取值的概率为( )

2 2

A. 0.025
3.已知 sin(

B. 0.050

C. 0.950

D. 0.975

3 ? x) = ,则 sin 2 x 的值为( ) 4 5 19 16 14 A. B. C. 25 25 25 r r r r r r ) 4.已 知 a = (2,1), a ? b = 10,| a + b |= 5 2 ,则 | b |= (
A. 5 B. 10 C.5

π

D.

7 25

D.25

5. 设数列 {an } 是等差数列,a1 < 0, a7 ? a8 < 0 .若数列 {an } 的前 n 项和 Sn 取得最小值, n 则 的值为( )

A.4

B.7

C.8

D.15

6.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位 : cm ) ,可得这个几何体的 体积是( )

8 3 2 C. cm3 3
A. cm3

B. cm3 D. cm3

4 3

1 3

7.若 ( x ? 1) = a0 + a1 (1 + x) + a2 (1 + x) + L + a8 (1 + x ) , 则 a6 = (
8 2 8

)

A. 112

B. 28

C. ?28

D. ?112

8.随机写出两个小于 1 的正数 x 与 y , 它们与数 1 一起形成一个三元数组 ( x, y,1) .这样的三 元数组正好是一个钝角三角形的三边的概率是( )

A.

1 2

π
B. C.

π2 ?2
D.

π ?2
4

4

4

用心

爱心

专心

1

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: (一)必做题(9~13) 必做题( 13)
1 ? 1 9. 计算 (lg ? lg 25) ÷ 100 2 = _______. 4

10.抛物线 y = ax 上一点 M (m, 3) 到焦点距离为 5 ,则 a =
2

.

11.如图, EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形.将一颗豆子随 机地扔到该圆内, A 表示事件 用 “豆子落在正方形EFGH 内” B 表示事件 , “豆 子落在扇形 OHE (阴影部分)内”,则 (1) P ( A) = ___________, (2) P ( B | A) = __________. 12.已知 a, b ∈ R, a < b ,且 ab = 50 ,则 | a + 2b | 的最小值为 13.对任意实数 a, b ,函数 F ( a, b) = .

1 (a + b ? | a ? b |) ,如果函数 f ( x) = ? x 2 + 2 x + 3 , 2
.

g ( x) = x + 1 ,那么函数 G ( x) = F ( f ( x), g ( x)) 的最大值等于
考生只能从中选做一题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14~ 14. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是圆周 几何证明选讲选做题) 上一点 (异于 A, B ) 过 C 作圆 O 的切线 l , A 作直线 l 的垂线 AD , , 过 垂足为 D , AD 交半圆于点 E .已知 CB = 2 ,则 CE = .

15. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 若 直 线 3 x + 4 y + m = 0 与 圆

? x = 1 + cos θ ( θ 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值 范围是 ? ? y = ?2 + sin θ

.

用心

爱心

专心

2

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和步骤. 解答题: 16.(本小题满分 12 分) 已知 {an }, {bn }都是各项为正的数列,对任意的自然数 n ,都有 a n , b n2 , a n + 1 成等差数 列, b n2 , a n + 1 , b n2+ 1 成等比数列. (I)证明 {bn }是等差数列;
2 2 2 (Ⅱ)对任意的自然数 p, q ( p > q ) , b p ? q + b p + q ≥ 2 b p .

17.(本小题满分 13 分) 甲袋中有 3 个白球和 4 个黑球,乙袋中有 5 个白球和 4 个黑球,现在从甲、乙两袋中各 取出 2 个球. (I)求取得的 4 个球均是白球的概率; (Ⅱ)求取得白球个数的数学期望.

18.(本小题满分 13 分) 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA OB,OC 两两垂 , 直,且 OA = 1 , OB = OC = 2 , E 是 OC 的中点. (I)求 O 点到面 ABC 的距离;



C E O

(Ⅱ)求异面直线 BE 与 AC 所成的余弦值; (III)求二面角 E ? AB ? C 的正弦值.



19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ? a cos 2 x ? 3a sin 2 x + 2a + b, x ∈ ?0, 得函数 f ( x ) 的值城为 [- 5, . 1]

? π? ? .问是否存在实数 a , b ,使 ? 2?

20.(本小题满分 14 分) 已知动点 P 到定直线 x = ?2 的距离与到定点 F (1, 0) 的距离的差为 1.

用心

爱心

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3

(I)求动点 P 的轨迹方程; ( II)若 O 为原点, A、B 是 动点 P 的轨迹上的两点 ,且 ?AOB 的面 积 S△AOB =

m tan ∠AOB ,试求 m 的最小值;
(III)求证:在(2)的条件下,直线 AB 恒过一定点. 并求出此定点的坐标.

21.(本小题满分 14 分) 已知 a、 b、 c 是实数,函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c , g ( x ) = ax + b ,当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时,

f (x ) ≤ 1 .
(I)证明 c ≤ 1 ; (II)证明当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, g ( x ) ≤ 2 ; (III)设 a > 0 ,当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, g ( x ) 的最大值为 2,求 f ( x ) . 2012 届清新县第一中学高考冲刺模拟试题 数学(理科) (四 数学(理科) 四) ( 一、选择题 题号 答案 1 A 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 A 8 C

8.依题意,有 x + y > 1 . (1) 如果要形成钝角三角形, ∠A 一定是钝角知 cos A 一定是负值,由此得到 ( x, y,1) 是钝 角三角形的条件. 而 1 = x + y ? 2 xy cos A
2 2 2

A

x
2

y
C

因此 ?ABC 是钝角三角形的条件是 x

+ y2 < 1.

(2)

B

因此,我们得到三元数组 ( x, y,1) 为钝角三角形的条件是:

1

?x + y > 1 . ? 2 2 ?x + y < 1
其形成的区域是:满足不等式(1)的点 ( x, y ) 都在 我们的单位正方形的对角线 AB 上方(如图 1.3); 而满足不等式(2)的点都在单位圆之内.因此,同时
4
x+y=1

B

C

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A

满足(1)与(2)的点集合则正如图中所表示的,是介于 四分之一圆周与对角线之间的阴影区域.这样,

(x, y,1) 构成钝角三角形的概率是:
S弓形ABC = S 1
4 圆AOB

? S ?AOB

1 1 π 1 π2 ?2 2 = π ?1 ? × 1× 1 = ? = . 4 2 4 2 4

二、填空题 题号 9 10 11 12 13 14 15

答案

?20

1 8

1 π ,4

2

20

3

2

(?∞, 0) U 10, ∞) ( +

三、解答题 16.答案: 16.答案:
2 解(I) :因为 2 b n2 = a n + a n + 1 , a n + 1 = b n2 ? b n2+ 1 ,又 an > 0, bn > 0 , 2 所以 a n + 1 = b n2 ? b n2+ 1 ? a n + 1 = b n ? b n + 1 ,

从而 n ≥ 2 时, a n = b n ?1 ? b n ,
2 2 所以 2 b n = a n + a n + 1 ? 2 b n = b n ? 1 ? b n + b n ? b n + 1 ? 2 b n = b n ? 1 + b n + 1 ( n ≥ 2 )

所以 {bn }是等差数列. 解(II) :因为 {bn }是等差数列,所以 b p ? q + b p + q = 2 b p ;

所以 b

2 p?q

+b

2 p+q



(b

p?q

+ bp+q ) 2

2 2 = 2b p .

17.答案: 17.答案: 设从甲袋中取出 i 个白球的事件为 Ai ,从乙袋中取出 i 个白球的事件为 Bi ,其中 i =0,1,2, 则 P ( Ai ) =
i 2 C3C4 ?i C i C 2 ?i , P (Bi ) = 5 24 . 2 C7 C9

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5

解(I) P ( A2 ) = :

C32 C52 , P (B2 ) = 2 , C72 C9 C32 1 5 5 = ? = . 2 C7 7 18 126

所以, P ( A2 ? B2 ) = P( A2 ) ? P (B2 ) 解(II) ξ 的分布列为: :
ξ
P

0
6 126

1
32 126

2
53 126

3
30 126

4
5 126

Eξ = 0 ×

6 32 53 30 5 124 + 1× + 2× + 3× + 4× = 126 126 126 126 126 63

18.答案: 18.答案: 方法一: 解(I) :取 BC 的中点 D ,连 AD 、 OD

Q OB = OC , 则OD ⊥ BC 、 AD ⊥ BC , ∴ BC ⊥ 面OAD.过O点作OH ⊥ AD于H ,
则 OH ⊥ 面 ABC , OH 的长就是所要求的距离. BC = 2 2, OD =

OC 2 ? CD 2 = 2.

Q OA ⊥ OB 、 OA ⊥ OC ,∴ OA ⊥ 面OBC , 则OA ⊥ OD.

AD = OA2 + OD 2 = 3 ,在直角三角形 OAD 中,有 OH =

OA ? OD 2 6 = = . AD 3 3

(另解:由 V =

1 1 2 6 S ?ABC ? OH = OA ? OB ? OC = 知, OH = .) 3 6 3 3

解(II) :取 OA 的中点 M ,连 EM 、 BM ,则 EM ∥ AC ,

∠BEM 是异面直线 BE 与 AC 所成的角.
求得 EM =

1 5 17 AC = , BE = OB 2 ? OE 2 = 5 , BM = OM 2 + OB 2 = 2 2 2

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6

BE 2 + ME 2 ? BM 2 5 cos ∠BEM = = 2 ? BE ? ME 2 5 2

故所求的余弦值是

证明(III) :连结 CH 并延长交 AB 于 F ,连结 OF 、 EF .

Q OC ⊥ 面OAB,∴ OC ⊥ AB.又 Q OH ⊥ 面ABC ,∴ CF ⊥ AB, EF ⊥ AB,
则 ∠EFC 就是所求二面角的*面角.作 EG ⊥ CF 于 G ,则 EG =

1 6 OH = . 2 6

在直角三角形 OAB 中, OF =

OA ? OB 2 = , AB 5 OE 2 + OF 2 = 1 + 4 3 = , 5 5

在直角三角形 OEF 中, EF =

6 EG 30 30 30 sin ∠EFG = = 6 = , ∠EFG = arcsin .( ,故所求的正弦值是 3 EF 18 18 18 5
方法二:

arccos

7 6 ) 18

解(I) :以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0, 0,1) 、 B (2, 0, 0) 、 C (0, 2, 0) 、 E (0,1, 0). 设*面 ABC 的法向量为 n1 = ( x, y, z ), 则由 n1 ⊥ AB知 : n1 ? AB = 2 x ? z = 0; 由 n1 ⊥ AC知 : n1 ? AC = 2 y ? z = 0.取

ur

ur

uuu r

ur uuu r

ur

uuur

ur uuur

ur uuu r n1 ? OA ur 2 6 n1 = (1,1, 2) ,则点 O 到面 ABC 的距离为 d = ur = = . 3 1+1+ 4 n1
解(II) EB = (2, 0, 0) ? (0,1, 0) = (2, ?1, 0), AC = (0, 2, ?1). :

uuu r

uuur

cos ∠BEM =

BE 2 + ME 2 ? BM 2 2 = 2 ? BE ? ME 5

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7

故所求的余弦值是

2 5

证明(III) :设*面 EAB 的法向量为 n = ( x, y , z ), 则由 n ⊥ AB 知: n ? AB = 2 x ? z = 0; 由 n ⊥ EB 知: n ? EB = 2 x ? y = 0. 取 n = (1, 2, 2). 由(1)知*面 ABC 的法向量为 n1 = (1,1, 2).

r

r

uuu r

r uuu r

r

uuu r

r uuu r

r

ur

r ur r ur n ? n1 1 + 2 + 4 7 7 6 = = 则 cos < n, n1 > = r ur = . 18 9? 6 3 6 n n1
结合图形可知,二面角 E ? AB ? C 的正弦值是

30 . 18

19.答案: 19.答案: 解: f ( x ) = ? a cos 2 x ? 3a sin 2 x + 2a + b = ?2a sin ? 2 x +

? ?

π?

? + 2a + b , 6?

因为 x ∈ ?0,

π ? π 7π ? π? ? 1 ? ? π? ? ? ,所以 2x + 6 ∈ ? 6 , 6 ? , sin ? 2 x + 6 ? ∈ ?? 2 ,1? , ? ? ? 2? ? ? ? ?
? ?

于是最大值和最小值只能在 sin ? 2 x +

π?

1 π? ? 所以根据题意有 ? = 1 或 sin ? 2 x + ? = ? 时取得, 6? 2 6? ?

?? 2a ?1 + 2a + b = ?5 ?? 2 a ? 1 + 2 a + b = 1 ? ? 或? ? ? 1? ? 1? ?? 2a ? ? ? 2 ? + 2a + b = 1 ?? 2a ? ? ? 2 ? + 2a + b = ?5 ? ? ? ? ? ?
解得 ?

?a = 2 ?a = ?2 或? ?b = ?5 ?b = 1 ?a = 2 ?a = ?2 或? 满足题意. ?b = ?5 ?b = 1

所以存在实数 a , b 且 ?

20.答案: 20.答案: 解(I) :依题意知动点 P 到定点 F (1, 0) 的距离与到定直线 x = ?1 的距离相等,由抛物线的
2 定义可知动点 P 的轨迹方程是 y = 4 x .

用心

爱心

专心

8

解(II) :设 A( ∵ S ?AOB =

y12 y2 , y1 ), B( 2 , y2 ) 4 4

r r 1 uuu uuu OA OB sin ∠AOB , 2

又 S ?AOB = m tan ∠AOB ∴

r r 1 uuu uuu OA OB sin ∠AOB = m tan ∠AOB 2

2 r r r r 1 uuu uuu 1 uuu uuu 1 y12 y2 1 + y1 y2 ) = ( y1 y2 + 8) 2 ? 2 ∴ m = OA OB cos ∠AOB = OA ? OB = ( 2 2 2 16 32

∴ mmin = ?2 ,此时 y1 y2 = ?8
2 证明(III) :∵当 y12 ≠ y2 时,直线 AB 的方程为 y ? y1 =

y1 ? y2 y2 (x ? 1 ) 即 2 y12 y2 4 ? 4 4

y ? y1 =

4 y2 yy 4 (x ? 1 ) , y = x+ 1 2 y1 + y2 4 y1 + y2 y1 + y2
4 ( x ? 2) ,即直线 AB 恒过定点(2,0) y1 + y2

∵ y1 y2 = ?8 ,∴直线 AB 的方程为 y =

21.答案: 21.答案: 解(I) :由条件当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) ≤ 1 ,取 x = 0 得 c = f (0 ) ≤ 1 ,即 c ≤ 1 . 解(II) :当 a > 0 时, g ( x ) = ax + b 在 [? 1,1] 上是增函数,所以 g (? 1) ≤ g ( x ) ≤ g (1) , 因为当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) ≤ 1 ,所以 f (1) = a + b + c , 即 a + b = f (1) ? c , 而 c ≤ 1 ,所以 g (1) = a + b = f (1) ? c ≤ f (1) + c ≤ 2 , 又因为 a ? b = f (? 1) ? c ,即 ? (? a + b ) = f (? 1) ? c ,或

? a + b = ? f (? 1) + c ,
所 以

g (? 1) = ? a + b = ? f (? 1) + c ≥ ?( f (? 1) + c ) ≥ ?2 ,
用心 爱心 专心 9

故 g (x ) ≤ 2 . 当 a > 0 时, g ( x ) = ax + b 在 [? 1,1] 上是减函数, 所以 g (? 1) ≥ g ( x ) ≥ g (1) , 因为当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) ≤ 1 , c ≤ 1 , 所以 g (? 1) = ? a + b = ? f (? 1) + c ≤ f (? 1) + c ≤ 2 ,

g (1) = a + b = f (1) ? c ≥ ?( f (? 1) + c ) ≥ ?2 ,
由此即得 g ( x ) ≤ 2 . 当 a = 0 时,因为 f ( x ) = bx + c , g ( x ) = b ; 因为 f (1) = b + c ,所以 b = f (1) ? c ,因为 ? 1 ≤ x ≤ 1 , 所以 g ( x ) = f (1) ? c ≤ f (1) + c ≤ 2 , 综上得 g ( x ) ≤ 2 . 证明(III) :因为 a > 0 , g ( x ) 在 [? 1,1] 上是增函数,当 x = 1 时, g max ( x ) = g (1) = 2 , 即 g (1) = a + b = f (1) ? f (0 ) = 2 ,或 a + b = 2 . 因为 ? 1 ≤ f (0 ) = f (1) ? 2 ≤ 1 ? 2 ≤ ?1 , 所以 c = f (0 ) = ?1 , 因为当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) ≥ ?1 = f (0 ) ,即 f ( x ) ≥ f (0 ) , 因而 x = 0 为 f ( x ) 的对称轴,即 ? 由a +b = 2 得a = 2, 所以 f ( x ) = 2 x 2 ? 1 .

b = 0 ,所以 b = 0 . 2a

用心

爱心

专心

10


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