广东清新县第一中学2012届高考数学冲刺模拟试题(2) 文

发布于:2021-10-17 02:32:09

届清新县第一中学高考冲刺模拟试题数学(文科) 2012 届清新县第一中学高考冲刺模拟试题数学(文科)第 2 套
小题, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每个小题给出的四个选项中 选择题: 只有一项是符合题目要求的. 只有一项是符合题目要求的. 1.在复*面内,复数

1 + i 3 对应的点位于( 1? i
B.第二象限

)

A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限

2.下列函数中既是奇函数,又在区间 ( ?1,1) 上是增函数的为(

)

A. y = x

B. y = sin x

C. y = e x + e ? x

D. y = ? x 3
)

3.已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S1 = 1,

S S4 = 4 ,则 6 = ( S2 S4 5 4

A.

9 4

B.

3 2

C.

D. 4 .

4.若把函数 y = f ( x) 的图象沿 x 轴向左*移

π
4

个单位,沿 y 轴向下*移 1 个单位,然后再

把图象上每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变),得到函数 y = sin x 的图象, 则 y = f ( x) 的解析式为( )

A. y = sin(2 x ?

π
4

) +1 ) ?1

B. y = sin(2 x ? D. y = sin( x +

π π
2 2

) +1 ) ?1
)

C. y = sin( x +

1 2

π
4

1 2

x ) 且 则 5.若函数 y = f ( x) 是函数 y = a(a > 0,且a ≠ 1 的反函数, f (2) = 1 , f ( x ) = (

A. log 2 x

B.

1 2x

C. log 1 x
2

D. 2 x? 2

6.如图,正四棱锥 (底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心) P ? ABCD 的底面 边长为 6cm ,侧棱长为 5cm ,则它的正视图的面积等于( )

P

A. 3 7cm C. 12cm
2

2

B. 6 7cm D. 24cm2

2

A
C

D

B

7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 B = 600 , a = 1, b = 2 ,则角 A 所在 的区间是( )

用心

爱心

专心

1

4 3 1 4 8.已知 a > 0, b > 0, a + b = 2 ,则 y = + 的最小值是( ) a b 7 9 A. B. 4 C. D. 5 2 2
3 2

A. (0, )

π

6

B. ( , )

π π

6 4

C. ( , )

π π

D. ( , )

π π

3 2

9.设 p :" a = 3" , q : “ f ( x) = x ? ax + 1 在 (0, 2) 上有唯一零点” ,则 p 是 q 的(

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 (? ∞,0] 上是减函数,且 f (2 ) = 0 ,则使得

f ( x ) < 0 的 x 的取值范围是(
A. (? ∞,2]

)

B. (2, ∞ ) +

C. (? ∞,?2 ) ∪ (2,+∞ )

D. (- 2,) 2

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 填空题: (一)必做题(11~13) 必做题(11~13) 11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) 合唱社 45 15 粤曲社 30 10 书法社

高一 高二

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱社被抽出 12 人,则 a = _______________.

1 ? x2 (其中 a 为常数)的定义域为 . x?a x2 2 2 13.已知抛物线 y = 8 x 的准线 l 与双曲线 C : 2 ? y = 1 相切,则双曲线 C 的离心率 a e= .
12.奇函数 f ( x ) = 考生只能从中选做一题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14~ 14. (几何证明选讲选做题)如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C ,并且 几何证明选讲选做题) OA = OB , CA = CB ,直线 OB 交⊙O 于点 E,D ,连接 EC,CD .若
E O D A C B

1 tan E = ,⊙0 的半径为 3,则 OA 的长为 2

.

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,由三条直线 θ = 0 , θ = 坐标系与参数方程选做题)

π


4

ρ cos θ + 2 ρ sin θ = 2 围成图形的面积等于



用心

爱心

专心

2

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和步骤. 解答题: 16.(本小题满分 12 分) 某林场原有木材存有量为 a ,木材以每年 25% 的增长率生长,而每年年底要砍伐的木 材量为 x . (I)写出三年后木材存有量; (II)猜想出 n 年后的木材存有量 an 与 n 的关系式; ( III )为 实现 经过 20 年 后 木 材 存有 量 翻两 番的 目标 , 每年 的 砍伐 量最 多是 多 少? ( lg 2 ≈ 0.3 )

17.(本小题满分 13 分) 某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动,已知开关第一次闭合后,出现红灯和出现

1 1 ;从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下一次出现红灯的概率是 , 2 3 2 3 出现绿灯的概率是 ;若前次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率是 ,出现绿灯的概率是 3 5 2 .问: 5
绿灯的概率都是 (I)第二次闭合后出现红灯的概率是多少? (II)三次发光中,出现一次红灯,两次绿灯的概率是多少?

18.(本小题满分 13 分) 设关于 x 的函数 y = 2 cos 2 x ? 2a cos x ? (2a + 1) 的最小值为 f (a ) . (I)试写出 f (a ) 的表达式; (II)试确定能使 f (a ) =

1 的 a 的值,并对此时的 a ,求 y 的最大值. 2
P

19.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形, AB / / CD , AB ⊥ AD , ?PAB 和 ?PAD 是两个边长为 2 的正三角形, DC = 4 , O 为 BD 中点, E 为 PA 中点. (I)求证: PO ⊥ *面 ABCD ; (II)求证: OE / / *面 PDC .
E

A

B O C

D

用心

爱心

专心

3

20.(本小题满分 14 分) 如图,在 Rt?PAB 中, ∠A 是直角, PA = 4, AB = 3 ,有 一个椭圆以 P 为一个焦点,另一个焦点 Q 在 AB 上,且椭圆经 过点 A 、 B . (I)求椭圆的离心率; (II)若以 PQ 所在直线为 x 轴,线段 PQ 的垂直*分线为 y 轴 建立直角坐标系,求椭圆的方程; (III)在(2)的条件下,若经过点 Q 的直线 l 将 Rt?PAB 的面积分为相等的两部分,求 直线 l 的方程.

B Q

P

A

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = ( x ? a ) ln x , a ∈R, e 为自然对数的底数, e = 2.7182L .
2

(I)当 a = 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (II)当 a = 4 ,证明:存在 k ,使方程 f ( x ) = k 有三个根.

2012 届清新县第一中学高考冲刺模拟试题 数学(文科) 套参考答案 数学(文科)第 2 套参考答案 一、选择题 题号 答案

1 D

2 B

3 A

4 B

5 A

6 A

7 A

8 C

9 A

10 D

10:作出满足条件的图象: 偶函数的图象关于 y 轴对称, 而 y = f ( x ) 在 (? ∞,0] 为减函数, 且 f (? 2 ) = f (2 ) = 0 , 由此易作出 y = f ( x ) 的示意图, 由图象可知 f ( x ) < 0 的解集为 (- 2,) ,故选 D. 2 二、填空题 题号

11

12

13

14

15

答案

30

[ ?1, 0 ) ∪ ( 0,1]

5 2

5

2 3

三、解答题

用心

爱心

专心

4

16.答案: 16.答案: 解(I) :三年后木材存有量 a3 = ? ? a ? ? ? x ?
n

?5? ?4?

3

?5? ?4?

2

5 125 61 x?x = a? x. 4 64 16
n ?1

?5? ?5? 解(II) :猜想出 n 年后的木材存有量 an = ? ? a ? ? ? ?4? ?4?
?5? 1? ? ? n n n ?5? ? 4 ? x = ? 5 ? a ? 4 x ?? 5 ? ? 1? . 即 an = ? ? a ? ? ? ?? ? ? 5 ?4? ?4? ?? 4 ? ? ? ? 1? 4
解(III) :依题意 a 20 ≥ 4a ,即
20 ?? 5 ? 20 ? ?5? ? ? a ? 4 x ?? ? ? 1? ≥ 4a , ?4? ?? 4 ? ? ? ?
n

?5? x?? ? ?4?

n?2

x ?L ? x ,

?5? 设 N = ? ? ,则 ?4?
5 = 20(1 ? 3 lg 2 ) = 20(1 ? 0.9 ) = 2 , 4 所以, N = 100 , 则 100a ? 4 × 99 x ≥ 4a , 8 解得 x ≤ a, 33 8 所以每年的砍伐量最多是 a. 33 lg N = 20 lg

20

17.答案: 17.答案: 解(I) :如果第一次出现红灯,则接着又出现红灯的概率是

1 1 × 2 3

如 果 第一 次出 现 绿灯 , 则接 着 出现 红灯 的 概率 为

1 3 × . 2 5
以上两种情况彼此互斥,所以,第二次出现红灯的概率 为:

1 1 1 3 7 × + × = . 2 3 2 5 15

解(II) :由题意,三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的情 况共有如下三种方式:

用心

爱心

专心

5

1 2 3 × × ; 2 5 5 1 3 2 ②出现绿、红、绿时的概率为: × × ; 2 5 5 1 2 2 ③出现红、绿、绿时的概率为: × × . 2 3 5
①出现绿、绿、红时的概率为: 以上三种情况彼此互斥,所以三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的概率为:

1 2 3 1 3 2 1 2 2 34 × × + × × + × × = . 2 5 5 2 5 5 2 3 5 75

18.答案: 18.答案: 答案 解(I) y = 2 cos x ? 2a cos x ? (2a + 1) = 2? cos x ? :
2

? ?

a? a 2 + 4a + 2 ? ? 2? 2
2

?1 (a ≤ ?2 ) ? 2 ? a ? f (a ) = ?? ? 2a ? 1 (? 2 < a < 2 ) ? 2 ?1 ? 4a (a ≥ 2 ) ?
解(II) : 令?

a2 1 ? 2 a ? 1 = ? a 2 + 4 a + 3 = 0 ? a = ?1 或 a = ?3 , 2 2
1 1 ? a = (a ≥ 2 ) ? 无解. 2 8
2

由于 ? 2 < a < 2 ,所以 a = ?1 . 令 1 ? 4a =

1? 1 ? 综上,当 a = ?1 时, y = 2? cos x + ? + ,当 cos x = 1 时, ymax = 5 . 2? 2 ?

19.答案: 19.答案: 答案 解(Ⅰ) :证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF ,则 DF = AB ∵ AB ⊥ AD , AB = AD , AB // DC , ∴四边形 ABFD 为正方形, ∵ O 为 BD 的中点, ∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD = PB = 2 , ∴ PO ⊥ BD , ∵ BD =
A
O E P

B

AD 2 + AB 2 = 2 2 ,

D

F

C

用心

爱心

专心

6

1 BD = 2 , 2 2 2 2 在三角形 PAO 中, PO + AO = PA = 4 ,∴ PO ⊥ AO , ∵ AO I BD = O ,∴ PO ⊥ *面 ABCD ;
∴ PO =

PB 2 ? BO 2 = 2 , AO =

解(Ⅱ): 证明: 方法 1:连接 PF , ∵ O 为 AF 的中点, E 为 PA 中点, ∴ OE // PF , ∵ OE ? *面 PDC , PF ? *面 PDC , ∴ OE // *面 PDC . 方法 2:由(Ⅰ)知 PO ⊥ *面 ABCD ,又 AB ⊥ AD ,所 以过 O 分别做 AD, AB 的*行线,以它们做 x, y 轴,以 D OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知得: A(?1, ?1,0) , B(?1,1,0) , D(1, ?1,0) ,

P

E

A

B O
x

y

F

C

1 1 2 F (1,1,0) , C (1,3,0) , P (0, 0, 2) , E (? , ? , ) 2 2 2 uuu r uuu r uuu r uuu r 1 1 2 则 OE = ( ? , ? , ) , PF = (1,1, ? 2) , PD = (1, ?1, ? 2) , PC = (1,3, ? 2) 2 2 2 uuu r r 1 uuu ∴ OE = ? PF 2 ∴ OE / / PF ∵ OE ? *面 PDC , PF ? *面 PDC ∴ OE // *面 PDC

20.答案: 20.答案: 答案 解(Ⅰ) :因为椭圆以 P 为一个焦点,另一个焦点 Q 在 AB 上,且椭圆经过点 A 、 B ,所以 因此 4 + AQ = 5 + (3 ? AQ ) , 解得 AQ = 2 . 由椭圆的定义知 AP + AQ = BP + BQ , 因此,椭圆的长轴长 2a = 4 + 2 = 6 ,焦距 2c = PQ = 心率 e =

4 2 + 2 2 = 2 5 ,故椭圆的离

2c 2 5 5 . = = 2a 6 3 x2 y2 + = 1(a > b > 0) ,由(1)知,有 a 2 b2

解(II) :依题意,可设椭圆方程为

a = 3, c = 5 ,∴ b = a 2 ? c 2 = 2 , x2 y2 + = 1. 9 4
7

∴椭圆方程为

用心

爱心

专心

解(Ⅲ) :依题意,设直线 l 的方程为 y = k ( x ? 5 ) ,直线 l 与 PA 相交于点 C ,则

S ?QAC =
故 AC = 3, PC = 1 ,从而 AC = 3CP .

1 S ?PAB = 3 , 2

设 A( x, y ) ,由 AP = 4, AQ = 2 ,得

?( x + 5 ) 2 + y 2 = 16 ?3 5 4 5? ? ,解得 A ? ? ? 5 ,? 5 ?. ? ?( x ? 5 ) 2 + y 2 = 4 ? ? ?
设 C ( x, y ) ,由 AC = 3CP ,得

? 3 5 = 3( ? 5 ? x) ?x ? ? 3 5 5? ? 5 ,解得 C ? ? ,? ?. ? ? 5 ? 5 ? 4 5 ? ?y + = ?3 y ? 5 ?
∴k =

1 1 ,∴直线 l 的方程为 y = ( x ? 5 ) . 8 8

21.答案: 21.答案: 答案 解(I) : 因为 a = 0 ,所以 f ( x ) = x ln x ,
2 2 求导 f ( x ) = x ln x ,得 f ′ ( x ) = 2 x ln x + x ,

解 f ′ ( x ) = 2 x ln x + x = 0 , 得x=

1 , e

x
1? ? f ′ ( x ) = 2 x ? ln x + ? 2? ?
所以, a = 0 时 f ( x ) 的在 ? 0,

? 1 ? ? 0, ? e? ?

? 1 ? ? ,+∞ ? ? e ?

?
? ? 1 ? ? 1 ? ? 单调递减,在 ? ,+∞ ? 上单调递增. e? ? e ?

+

解(II) : 由题设条件,当 a = 4 ,有 f ( x ) = ( x ? 4) ln x ;
2

用心

爱心

专心

8

求导 f ( x ) = ( x ? 4) ln x ,得 f ′ ( x ) = 2( x ? 4) ln x +
2

( x ? 4)2 x?4? ? = ( x ? 4) ? 2 ln x + ? x x ? ?

x?4 , x 1? 4 因为, h (1) = 2 ln1 + = ?3 < 0 , 1 e?4 4 4 5 h ( e ) = 2 ln e + = 2 +1? > 3 ? = > 0 , e e 3 3 4 x?4 而 h ( x ) = 2 ln x + = 2 ln x + 1 ? 在 (0,+∞ ) 是单调递增函数, x x
令 h ( x ) = 2 ln x + 所以,存在唯一零点 x0 ,有 h ( x0 ) = 0 , 所以, (0, x0 ) 上,有 h ( x ) < 0 ;在 ( x0 ,+∞ ) 上, h ( x ) > 0 , 且 1 < x0 < e ;又由于单调递增函数 x ? 4 在区间 (0,4 ) 上为负,在区间 (4,+∞ ) 上为正

x
h ( x) x?4

(0, x0 )
负 负 正

(x0 ,4)
正 负 负

(4,+∞ )
正 正 正

f ′( x) = ( x ? 4)h( x)
所以,函数 f ( x ) 在 x0 取极大值, 又由于 f (1) = f (4 ) = 0 ;故, 在 (1, x0 ) 上 f ( x ) > 0 ,且单调递增; 在 ( x0 ,4 ) 上 f ( x ) > 0 ,且单调递减; 在 (4,+∞ ) 上 f ( x ) > 0 ,且单调递增;

所以,当 0 < k < f ( x0 ) 时, f ( x ) = k 必有三个根. 画出草图

用心

爱心

专心

9

用心

爱心

专心

10


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